Решение: 1. Каковы критические (стационарные) точки функции f(x)=2x3+3x2-72x-213? 2. Какие наибольшее и наименьшее

Содержание: Анализ функций

1. Критические точки функции:

Критические точки функции являются точками, в которых производная функции равна нулю или не существует. Для функции f(x)=2x^3+3x^2-72x-213, найдем ее производную, приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение:

f"(x)=6x^2+6x-72

Решим уравнение:

6x^2+6x-72=0

Затем, найдем корни этого уравнения, используя квадратное уравнение или дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(6)(-72) = 1296

x = (-b ± √D) / 2a = (-6 ± √1296) / (2(6)) = (-6 ± 36) / 12

x1 = 3, x2 = -4

Таким образом, критические точки функции f(x) равны x = 3 и x = -4.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1;3], найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках (если они есть). Затем сравним эти значения и определим наибольшее и наименьшее из них.

Для функции y = x^3 - 9x^2 + 24x - 15, найдем значения функции в точках [1;3]:

y(1) = 1^3 - 9(1)^2 + 24(1) - 15 = 1 - 9 + 24 - 15 = 1

y(3) = 3^3 - 9(3)^2 + 24(3) - 15 = 27 - 81 + 72 - 15 = 3

Теперь найдем значения функции в критических точках, которые мы уже найденные в первом вопросе:

y(-4) = (-4)^3 - 9(-4)^2 + 24(-4) - 15 = -64 - 144 - 96 - 15 = -319

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [1;3] равно 3, а наименьшее значение равно -319.

3. Уравнение касательной к графику:

Уравнение касательной к графику функции f(x)=3x^2-4x-2 в точке с абсциссой x0=-1 можно найти, используя производную функции и точку (-1,f(-1)).

Сначала найдем значение функции в данной точке:

f(-1) = 3(-1)^2-4(-1)-2 = 3+4-2 = 5

Затем найдем значение производной функции в этой точке:

f"(x) = 6x - 4

f"(-1) = 6(-1) - 4 = -6 - 4 = -10

Теперь мы можем записать уравнение касательной, используя формулу:

y - y0 = m(x - x0), где (x0, y0) - точка, а m - значение производной в данной точке.

Подставим полученные значения:

y - 5 = -10(x - (-1))

y - 5 = -10(x + 1)

y - 5 = -10x - 10

y = -10x -5

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x)=3x^2-4x-2 в точке с абсциссой x0=-1 равно y = -10x - 5.

4. Площадь криволинейной трапеции:

Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x)=2x^2+x и прямыми x=0 и x=1, можно найти, используя определенный интеграл.

Обозначим функцию f(x)=2x^2+x и найдем интеграл этой функции на отрезке [0;1]:

∫[0;1] (2x^2+x) dx = [2/3 * x^3 + 1/2 * x^2] |[0;1]

= (2/3 * 1^3 + 1/2 * 1^2) - (2/3 * 0^3 + 1/2 * 0^2)

= (2/3 + 1/2) - (0)

= 7/6

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна 7/6.

5. Значение первообразной функции:

Чтобы найти значение первообразной функции F(x)=∫(4x^3+2x)dx при x=1, мы должны вычислить определенный интеграл функции на интервале от заданной точки до произвольной точки.

Обозначим функцию f(x)=4x^3+2x и найдем интеграл этой функции, используя обратную задачу дифференцирования:

F(x) = ∫(4x^3+2x)dx

= x^4 + x^2 + C

Теперь вычислим значение первообразной функции F(x) при x=1:

F(1) = 1^4 + 1^2 + C = 1 + 1 + C = 2 + C

Таким образом, значение первообразной функции F(x)=∫(4x^3+2x)dx при x=1 равно 2 + C, где C - произвольная постоянная.

1. Критические точки функции:
Чтобы найти стационарные точки функции f(x)=2x^3+3x^2-72x-213, нужно найти производную этой функции и решить уравнение f"(x)=0.

Давайте найдем производную функции:
f"(x) = 6x^2 + 6x - 72

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
6x^2 + 6x - 72 = 0

Можем решить это уравнение с помощью факторизации или применения квадратного корня. Факторизуем уравнение и получим:
(2x + 18)(3x - 4) = 0

Находим значения x, которые удовлетворяют уравнению:
2x + 18 = 0 => x = -9
3x - 4 = 0 => x = 4/3

Таким образом, критическими точками функции f(x)=2x^3+3x^2-72x-213 являются x = -9 и x = 4/3.

2. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке:
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y=x^3-9x^2+24x-15 на отрезке [1;3], нужно вычислить значения функции на концах отрезка ([1;3]) и в ее критических точках (если они есть), а затем определить максимальное и минимальное из этих значений.

Вычислим значение функции на концах отрезка:
f(1) = 1^3 - 9(1)^2 + 24(1) - 15 = 1 - 9 + 24 - 15 = 1
f(3) = 3^3 - 9(3)^2 + 24(3) - 15 = 27 - 81 + 72 - 15 = 3

Теперь найдем критические точки функции. Найдем производную функции:
f"(x) = 3x^2 - 18x + 24

Производная равна нулю:
3x^2 - 18x + 24 = 0

Находим значения x:
D = (-18)^2 - 4(3)(24) = 324 - 288 = 36
x = (-(-18) ± √36) / (2(3))
x = (18 ± 6) / 6
x1 = 4, x2 = 2

Таким образом, критическими точками функции являются x = 4 и x = 2.

Теперь вычислим значения функции в критических точках:
f(4) = 4^3 - 9(4)^2 + 24(4) - 15 = 64 - 144 + 96 - 15 = 1
f(2) = 2^3 - 9(2)^2 + 24(2) - 15 = 8 - 36 + 48 - 15 = 5

Наибольшим значением функции на отрезке будет 5, а наименьшим - 1.

3. Уравнение касательной к графику функции:
Чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x)=3x^2-4x-2 в точке x0=-1, нужно найти производную функции и подставить значение x0 в производную, затем составить уравнение вида y - y0 = k(x - x0), где k - значение производной в точке x0.

Найдем производную функции:
f"(x) = 6x - 4

Подставляем x0:
f"(-1) = 6(-1) - 4 = -10

Теперь записываем уравнение касательной:
y - y0 = k(x - x0)
y - f(-1) = -10(x - (-1))
y + 2 = -10(x + 1)

Уравнение касательной к графику функции f(x)=3x^2-4x-2 в точке x0=-1 будет y + 2 = -10(x + 1).

4. Площадь криволинейной трапеции:
Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x)=2x^2+x и прямыми x=0, x=1, нужно вычислить интеграл от функции f(x) на отрезке [0, 1] и взять модуль результата, так как площадь не может быть отрицательной.

Вычисляем интеграл:
∫[0, 1] (2x^2 + x) dx = [2/3x^3 + 1/2x^2] [0, 1] = (2/3(1)^3 + 1/2(1)^2) - (2/3(0)^3 + 1/2(0)^2) = 2/3 + 1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x)=2x^2+x и прямыми x=0 и x=1, равна 7/6.

5. Значение первообразной функции:
Для нахождения значения первообразной функции F(x)=4x^3+2x при x=1, нужно подставить значение x в выражение функции.

Вычисляем значение:
F(1) = 4(1)^3 + 2(1) = 4 + 2 = 6

Таким образом, значение первообразной функции F(x)=4x^3+2x при x=1 равно 6.