При каких значениях параметра d функция y=3x3−9x возрастает на интервале [2d−2;4d+4]?

Тема: Анализ функции

Инструкция: Чтобы выяснить, при каких значениях параметра функция y=3x^3-9x возрастает на интервале [2d-2, 4d+4], нужно проанализировать производную этой функции. Если производная положительна на заданном интервале, то функция возрастает в этой области.

Для начала возьмем производную функции y=3x^3-9x. Для этого нужно применить правило дифференцирования для каждого слагаемого:

dy/dx = 9x^2 - 9

Затем найдем точки экстремумов, где производная равна нулю:

9x^2 - 9 = 0

Решим это уравнение:

x^2 = 1

Из этого уравнения следует, что x может быть равен -1 или 1.

Теперь проверим знак производной на разных интервалах.

Рассмотрим интервал (-∞, -1):

Подставим в производную значение x = -2 (так как мы работаем с интервалом [2d-2, 4d+4], а -2 находится внутри этого интервала):

dy/dx = 9(-2)^2 - 9 = 27

Так как производная положительна (27 > 0), функция возрастает в этом интервале.

Рассмотрим интервал (-1, 1):

Подставим в производную значение x = 0 (середина интервала):

dy/dx = 9(0)^2 - 9 = -9

Так как производная отрицательна (-9 < 0), функция убывает в этом интервале.

Рассмотрим интервал (1, +∞):

Подставим в производную значение x = 2 (так как мы работаем с интервалом [2d-2, 4d+4], а 2 находится внутри этого интервала):

dy/dx = 9(2)^2 - 9 = 27

Так как производная положительна (27 > 0), функция возрастает в этом интервале.

Итак, функция y=3x^3-9x возрастает на интервале [2d-2, 4d+4], если значение параметра d попадает в интервал (-∞, -1) или (1, +∞).

Совет: Чтобы лучше понять анализ функций, рекомендуется изучить различные материалы о производных и применении их для анализа функций. Также полезно изучить графические представления функций, чтобы лучше представлять себе изменения функций в зависимости от значений параметров.

Практика: Найдите значения параметра d, при которых функция y = 3x^3 - 9x возрастает на интервале [-4d-4, -2d+2].