Пожалуйста, вот а) Найдите длины векторов АВ и АС при заданных координатах точек А, В и С. б) Чему равно скалярное

Тема: Векторы в трехмерном пространстве
Пояснение:
В трехмерном пространстве векторы определяются своими координатами в декартовой системе. Для нахождения длин векторов АВ и АС, необходимо воспользоваться формулой для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

а) Длина вектора AB можно найти по формуле:
AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²],
где (x1, y1, z1) - координаты точки A, (x2, y2, z2) - координаты точки B.

Длина вектора AC можно найти аналогично:
AC = √[(x3 - x1)² + (y3 - y1)² + (z3 - z1)²],
где (x3, y3, z3) - координаты точки C.

б) Скалярное произведение векторов AB и AC можно найти по формуле:
AB · AC = (x2 - x1) * (x3 - x1) + (y2 - y1) * (y3 - y1) + (z2 - z1) * (z3 - z1).

в) Угол между векторами AB и AC можно найти по формуле:
cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|),
где AB · AC - скалярное произведение векторов AB и AC, |AB| и |AC| - их длины.

Дополнительный материал:
Дано:
A(1, 2, 3), B(4, 5, 6), C(7, 8, 9).
а) Найдите длины векторов АВ и АС.
б) Чему равно скалярное произведение векторов АВ и АС?
в) Какой угол образуют векторы АВ и АС?

a) Решение:
AB = √[(4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²] = √[3² + 3² + 3²] = √27 ≈ 5.196
AC = √[(7 - 1)² + (8 - 2)² + (9 - 3)²] = √[6² + 6² + 6²] = √108 ≈ 10.392

б) Решение:
AB · AC = (4 - 1) * (7 - 1) + (5 - 2) * (8 - 2) + (6 - 3) * (9 - 3) = 3 * 6 + 3 * 6 + 3 * 6 = 54

в) Решение:
cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|) = 54 / (5.196 * 10.392) ≈ 0.974
θ ≈ arccos(0.974) ≈ 12.6°

Совет: Для упрощения вычислений в трехмерном пространстве убедитесь, что вы правильно записали координаты векторов и тщательно провели вычисления.

Закрепляющее упражнение:
Дано:
A(2, 4, 6), B(1, 3, 5), C(3, 5, 7).
а) Найдите длины векторов АВ и АС.
б) Чему равно скалярное произведение векторов АВ и АС?
в) Какой угол образуют векторы АВ и АС?