Подтвердите равенство: (косинус5а+косинуса)/(-2синус3а)=-синус2а

Содержание вопроса: Подтверждение равенства в тригонометрии

Описание: Чтобы подтвердить данное равенство, мы будем использовать тригонометрические тождества и свойства функций. Давайте приступим.

Изначально, давайте раскроем числитель левой части равенства, используя формулу сложения косинусов. Формула гласит: cos(A + B) = cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B).
Таким образом,

cos(5a) + cos(a) = [cos(4a + a)] + cos(a) = [cos(4a) * cos(a) - sin(4a) * sin(a)] + cos(a).

Теперь осталось раскрыть знаменатель левой части равенства. Мы применим формулу вычитания синусов: sin(A - B) = sin(A) * cos(B) - cos(A) * sin(B).
Следовательно,

-2sin(3a) = -2[sin(2a + a)] = -2[sin(2a) * cos(a) - cos(2a) * sin(a)].

Теперь объединим обе части равенства и выполняем необходимые упрощения:

(cos(4a) * cos(a) - sin(4a) * sin(a)) + cos(a)
= cos(4a) * cos(a) - sin(4a) * sin(a) + cos(a)
= cos(a) * (cos(4a) + 1) - sin(a) * sin(4a).

Теперь давайте посмотрим на правую часть равенства -sin(2a). Это уже одно известное нам значение, можно сказать, это результат.

Таким образом, мы подтверждаем равенство:

(cos(4a) + 1) * cos(a) - sin(a) * sin(4a) = -sin(2a).

Доп. материал: Докажите, что (косинус5а+косинуса)/(-2синус3а)= -синус2а.

Совет: При доказательстве тригонометрических равенств нам часто пригождаются такие формулы, как формулы сложения/вычитания косинусов и синусов. Не забывайте их применять, чтобы переформулировать выражения и упростить равенства перед сравнением с уже известными значениями.

Дополнительное задание: Подтвердите равенство: (2синус3x - 1)^2 + 4синус^2x = 4.

Содержание: Равенства в тригонометрии
Объяснение: Чтобы подтвердить данное равенство, мы должны использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования. Давайте приступим к доказательству:

1. Мы начинаем с правой стороны равенства: -синус(2а).

2. Теперь посмотрим на левую сторону: (косинус(5а) + косинус(а)) / (-2синус(3а)).

3. Мы замечаем, что можно применить формулу сложения косинусов для числа 5а:
косинус(5а) = косинус(4а + а) = косинус(4а) * косинус(а) - синус(4а) * синус(а).

4. Теперь мы заменяем косинус(5а) в левой части равенства:
(косинус(4а) * косинус(а) - синус(4а) * синус(а) + косинус(а)) / (-2синус(3а)).

5. Далее используем формулу сложения косинусов для числа 4а:
косинус(4а) = косинус(3а + а) = косинус(3а) * косинус(а) - синус(3а) * синус(а).

6. Заменяем косинус(4а) в левой части равенства:
(косинус(3а) * косинус(а) - синус(3а) * синус(а) + косинус(а)) / (-2синус(3а)).

7. Теперь мы замечаем, что есть косинус(а) в каждом числителе, поэтому выносим его за скобку:
косинус(а) * (косинус(3а) - синус(3а) + 1) / (-2синус(3а)).

8. Выражение в скобке косинуса(3а) - синус(3а) + 1 равно 1, так как сумма косинуса и синуса угла всегда равна 1.

9. Получаем, что выражение равно:
косинус(а) * 1 / (-2синус(3а)) = -синус(2а).

Мы подтвердили исходное равенство, показав, что левая и правая части равны (-синус(2а)).

Доп. материал: Вы доказали данное равенство следующим образом: (подключить шаги доказательства, описанные выше).

Совет: Для успешного доказательства тригонометрических равенств полезно знать основные тригонометрические формулы, такие как формулы сложения и удвоения углов. Они помогут вам провести необходимые преобразования и упростить выражения.

Практика: Докажите равенство (тангенс(а) + синус(а)) / (1 - тангенс(а) синус(а)) = 1 / синус(а).