Подтвердите, что для любых натуральных чисел a и b выражение 4a²+4ab+ 2b+1 не является простым числом

Тема занятия: Проверка простоты числа

Пояснение:

Чтобы доказать, что выражение 4a²+4ab+ 2b+1 не является простым числом для любых натуральных чисел a и b, мы можем разложить его на множители и показать, что оно имеет более одного множителя.

Разложим выражение на множители:

4a²+4ab+ 2b+1 = (2a+1)(2a+1)+2b = (2a+1)²+2b

Мы видим, что у нас есть квадратный трехчлен (2a+1)² и еще одно слагаемое 2b.

Заметим, что квадратный трехчлен (2a+1)² всегда будет иметь четное число множителей, так как он уже само по себе содержит два множителя (2a+1)(2a+1).

Добавление слагаемого 2b также создает дополнительный множитель, так как наши числа a и b могут быть различными.

Таким образом, мы показали, что выражение 4a²+4ab+ 2b+1 всегда имеет более одного множителя и, следовательно, не является простым числом.

Например:

Пусть a=2 и b=3.

Тогда выражение 4a²+4ab+ 2b+1 = 4*2²+4*2*3+ 2*3+1 = 4*4+24+6+1 = 16+24+6+1 = 47.

Мы видим, что число 47 не является простым, так как оно имеет более одного множителя: 1 и 47.

Совет:

Для понимания и работы с простыми числами полезно знать их определение: простое число - это натуральное число, которое имеет ровно два делителя: 1 и само число. Как правило, простые числа встречаются в основном при решении задач теории чисел и криптографии.

Проверочное упражнение:

Проверьте, является ли число 71 простым, разложив его на множители.