Найти площадь треугольника ABC, образуемого параболой y=x^2+20x+c (где c ≠ 0), которая пересекает ось Ox в точках

Площадь треугольника, образованного параболой и осями:

Для решения этой задачи нужно найти координаты точек A, B и C. Затем мы сможем использовать формулу для площади треугольника, которая учитывает координаты вершин треугольника.

1. Начнем с нахождения координат точки A. Поскольку парабола пересекает ось Ox, это означает, что значение y будет равно нулю при точке пересечения. Подставим y=0 в уравнение параболы и решим итоговое уравнение для определения x-координаты точки A.

x^2 + 20x + c = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения или методом завершения квадратного трехчлена. Для получения одного корня парабола должна пересекать ось Ox только в одной точке. После нахождения x-координаты точки A обозначим ее как x1.

2. Теперь найдем координату точки C. Поскольку она является симметричной с точкой A относительно прямой y = x, у нее будет такая же x-координата, а значение y будет равно отрицательному значению y в точке A.

То есть, координаты точки C: (x1, -y1).

3. Определим координаты точки B. Точка B также пересекает ось Ox и будет симметричной с точкой A относительно оси Oy. Таким образом, ее x-координата будет равна отрицательной x-координате точки A, а значение y останется тем же, что и в точке A.

То есть, координаты точки B: (-x1, y1).

4. Теперь у нас есть координаты всех трех точек. Мы можем использовать формулу площади треугольника, которая определяется как половина произведения основания и высоты треугольника.

Положим основание равным длине отрезка AB, который можно вычислить как разность между x-координатами точек A и B.

Высота треугольника равна значению y в точке C.

Таким образом, площадь треугольника ABC будет равна:

Площадь = 1/2 * |x1 - (-x1)| * y1

Доп. материал:

Предположим, что значение c равно 5. Подставим это значение в уравнение параболы: y = x^2 + 20x + 5.

Мы решаем квадратное уравнение:

x^2 + 20x + 5 = 0

Решение этого уравнения дает нам два корня: x1 ≈ -10.944 и x2 ≈ -9.056.

Поскольку парабола пересекает ось Ox в двух точках, мы выбираем только одну из этих точек. В этом примере возьмем x1 ≈ -10.944.

Теперь мы можем использовать найденное значение x1 и определенное значение c, чтобы получить координаты остальных точек.

Точка A: (x1, 0)

Точка B: (-x1, 0)

Точка C: (x1, -y1)

Затем вычисляем площадь треугольника ABC с использованием полученных координат.

Совет:

Чтобы лучше понять, как парабола пересекает оси и как симметричные точки отображаются относительно осей, можно нарисовать график параболы и визуально представить эти точки. Используйте графический инструмент, чтобы легче представить себе конкретные значения координат и их взаимное расположение.

Упражнение:

Найдите площадь треугольника, образованного параболой y = x^2 + 16.5x + 10, которая пересекает ось Ox в точках A и B и ось Oy в точке C. Вам также известно, что точки А и C симметричны относительно прямой y = x.