Найдите площадь области, ограниченной графиками функций y=2sinx и y=-sinx при условии

Тема занятия: Площадь области, ограниченной графиками функций

Разъяснение: Чтобы найти площадь области между графиками функций, необходимо найти точки пересечения этих графиков и затем вычислить интеграл разности этих функций в заданном интервале.

В данном случае у нас есть две функции: y=2sinx и y=-sinx. Нам нужно найти точку, в которой они пересекаются. Подставим функции равные между собой:

2sinx = -sinx

Перепишем это как:

2sinx + sinx = 0

3sinx = 0

Таким образом, x=0 - это точка пересечения графиков функций.

Теперь нам нужно вычислить интеграл разности этих функций в интервале от 0 до 𝜋. Выглядит это следующим образом:

∫[0,𝜋] (2sinx - (-sinx)) dx

Упростим это:

∫[0,𝜋] (2sinx + sinx) dx

экспандируем:

∫[0,𝜋] (3sinx) dx

Теперь мы можем вычислить интеграл. Он равен:

[-3cosx] от 0 до 𝜋

Подставим верхнюю и нижнюю границы:

[-3cos(𝜋) - (-3cos(0))]

[-3(-1) - (-3(1))]

[3 + 3]

[6]

Таким образом, площадь области, ограниченной графиками функций y=2sinx и y=-sinx в интервале от 0 до 𝜋 равна 6.

Совет: При решении задач по вычислению площади области, ограниченной графиками функций, всегда начинайте с поиска точек пересечения графиков. Разбейте задачу на несколько этапов и последовательно решайте каждый из них.

Упражнение: Найдите площадь области, ограниченной графиками функций y=x^2 и y=2x в интервале от 0 до 2.

Содержание: Площадь ограниченной области между графиками функций

Пояснение:

Чтобы найти площадь области, ограниченной графиками функций, необходимо найти точки их пересечения и провести вертикальные линии через эти точки. Затем вычислить интеграл от верхней функции минус интеграл от нижней функции на заданном интервале.

В данной задаче у нас две функции: y = 2sinx и y = -sinx на интервале от 0 до пи (0 ≤ x ≤ π).

Первым делом найдем точки пересечения графиков функций. Для этого приравняем их друг к другу:

2sinx = -sinx

2sinx + sinx = 0

3sinx = 0

sinx = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 0 и x = π.

Теперь найдем площадь области между этими функциями на заданном интервале. Поскольку функция y = 2sinx на интервале [0, π] находится выше функции y = -sinx, мы будем вычислять интеграл от верхней функции минус интеграл от нижней функции:

∫[0, π] (2sinx - (-sinx)) dx

= ∫[0, π] (3sinx) dx

= -3cosx |[0, π]

= -3cos(π) - (-3cos(0))

= -3(-1) - (-3(1))

= 3 + 3

= 6

Таким образом, площадь области, ограниченной графиками функций y = 2sinx и y = -sinx на интервале [0, π], равна 6.

Совет:

Для более легкого понимания и вычисления площади ограниченной области между графиками функций, рекомендуется изучить основы интегрирования и свойства тригонометрических функций.

Проверочное упражнение:

Найдите площадь области, ограниченной графиками функций y = sinx и y = 3cosx на интервале [0, 2π].