Какой угол образует касательная к графику функции y=x^4-2x^3+3 в точке с абсциссой x0=1/2 с осью?

Тема занятия: Угол между касательной и осью

Инструкция: Чтобы найти угол между касательной и осью, нам понадобится найти производную функции в данной точке. Производная функции показывает наклон кривой в каждой точке. Затем мы можем использовать этот наклон для нахождения угла с помощью тангенса.

Итак, начнем с нахождения производной функции y=x^4-2x^3+3. Производная функции y по x равна: y"=4x^3-6x^2.

Теперь, найдем значение производной в точке x0=1/2, подставив его в выражение для производной: y"(1/2)=4(1/2)^3-6(1/2)^2.

Вычислив это выражение, получим: y"(1/2)=1/4-3/4=-2/4=-1/2.

Наклон касательной к графику функции в точке x0 будет равен найденной производной в этой точке.

Теперь, чтобы найти угол между касательной и осью, мы можем использовать тангенс угла наклона. Определение тангенса угла равно отношению противолежащего катета к прилежащему катету. В нашем случае, у проведенного угла наклона касательной к оси острый угол, поэтому мы можем использовать значение острого угла тангенса.

Тангенс угла наклона можно выразить так: tan(угол) = наклон касательной.

Подставив значение наклона касательной (равное -1/2) в формулу тангенса, получим: tan(угол) = -1/2.

Теперь, чтобы найти сам угол, мы можем взять арктангенс (обратную функцию тангенса) от -1/2: угол = arctan(-1/2).

Вычислив это выражение, получим: угол ≈ -26.57 градусов.

Следовательно, угол, образуемый касательной к графику функции y=x^4-2x^3+3 в точке x=1/2 с осью, составляет приблизительно -26.57 градусов.

Совет: Для успешного решения подобных задач важно освоить процесс нахождения производных функций и использования их для нахождения наклона и углов. Старайтесь понять, как каждый шаг влияет на итоговый результат, и не бойтесь использовать калькулятор для выполнения численных вычислений.

Практика: Найдите угол, образуемый касательной к графику функции y=2x^2+3x-5 в точке с абсциссой x0=2 с осью.