Каково дифференциальное уравнение зависимости размера популяции от времени в замкнутой биосистеме? Когда популяция

Тема урока: Дифференциальное уравнение для популяционной динамики

Пояснение:
Дифференциальное уравнение для популяционной динамики может быть использовано для моделирования изменения размера популяции в течение времени. Одно из наиболее широко используемых уравнений в биологии для этой цели - это модель экспоненциального роста, которую можно записать следующим образом:

\[ \frac{{dN}}{{dt}} = rN \]

В этом уравнении \(\frac{{dN}}{{dt}}\) представляет собой изменение размера популяции (\(N\)) со временем (\(t\)), а \(r\) - это скорость роста популяции (коэффициент экспоненциального роста).

Для того чтобы найти момент, когда популяция достигнет двукратного увеличения исходного размера, нам нужно решить уравнение для \(t\), когда \(N = 2N_0\), где \(N_0\) - исходный размер популяции.

Решение:
Для начала давайте разделим уравнение на \(N\):

\[ \frac{{1}}{{N}} \cdot \frac{{dN}}{{dt}} = r \]

Затем проинтегрируем обе стороны уравнения:

\[ \int \frac{{1}}{{N}} \,dN = \int r \,dt \]

Интеграл левой стороны дает нам \(\ln |N|\), а правой стороны - просто \(rt\):

\[ \ln |N| = rt + C \]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

Теперь учитывая, что \(N = 2N_0\) (двукратное увеличение исходного размера популяции), мы можем записать:

\[ \ln |2N_0| = rt + C \]

Возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения:

\[ 2N_0 = e^{rt+C} \]

Поскольку \(e^C\) - это константа, обозначим ее за \(K\):

\[ 2N_0 = Ke^{rt} \]

Теперь найдем \(t\):

\[ t = \frac{1}{r} \ln \left(\frac{2N_0}{K}\right) \]

Таким образом, когда популяция достигнет двукратного увеличения исходного размера \(2N_0\), время будет равно \(\frac{1}{r} \ln \left(\frac{2N_0}{K}\right)\).

Совет:
Для лучшего понимания данной темы, рекомендуется изучить базовые концепции дифференциальных уравнений, экспоненциального роста и моделирования популяционной динамики.

Задание:
Предположим, что размер исходной популяции составляет 100 особей, а скорость роста составляет 0,05. Найдите время, когда популяция достигнет двукратного увеличения исходного размера.