Какова площадь области, заключенной между графиками функций y=4x-x^2?

Предмет вопроса: Площадь под графиком функции

Разъяснение: Чтобы найти площадь области, заключенной между двумя графиками функций, требуется вычислить площадь между двумя кривыми функций. В данном случае, мы имеем две функции: y = 4x и y = x^2. Для того чтобы найти точки пересечения этих двух функций, мы приравниваем их и решаем уравнение:

4x = x^2

Переставляя все в одну сторону, получаем:

x^2 - 4x = 0

Факторизуя полученное уравнение, получим:

x(x - 4) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 0 и x = 4. Чтобы найти соответствующие значения y, мы подставляем эти значения в одну из исходных функций.

Подставляя x = 0 в y = 4x, получаем y = 0. Подставляя x = 4, получаем y = 16.

Итак, у нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (4, 16). Чтобы найти площадь области, заключенной между графиками функций, мы интегрируем функцию y=4x-x^2 от x = 0 до x = 4.

Вычисляем интеграл:

∫[(4x - x^2) dx] от 0 до 4

Считаем:

∫(4x - x^2) dx = (2x^2 - (1/3)x^3) + C

Вычисляем разность значений функции в точках x = 4 и x = 0:

(2 * 4^2 - (1/3) * 4^3) - (2 * 0^2 - (1/3) * 0^3)

= (32 - (64/3)) - (0 - 0)

= (32 - 64/3)

= 32/3

Таким образом, площадь области, заключенной между графиками функций y=4x-x^2, равна 32/3 или примерно 10.67.

Совет: Чтобы понять эту задачу лучше, рекомендуется изучить понятие площади под кривой и овладеть навыками интегрирования.

Закрепляющее упражнение: Найдите площадь области, заключенной между графиками функций y = 3x^2 и y = 2x.

Содержание: Площадь области между графиками функций

Описание: Для нахождения площади области, заключенной между двумя графиками функций, необходимо определить точки их пересечения и интегрировать разность между ними.

Итак, даны две функции: y = 4x - x^2. Найдем точки их пересечения, приравняв две функции друг другу:

4x - x^2 = 0

x(4 - x) = 0

x = 0 или x = 4

Таким образом, найдены две точки пересечения: (0, 0) и (4, 0).

Для нахождения площади области между графиками функций, мы будем интегрировать разность между этими функциями в пределах от x = 0 до x = 4.

S = ∫[0,4] (4x - x^2)dx

Вычислим интеграл:

S = [2x^2 - (x^3/3)] [0,4]

S = [(2*4^2) - (4^3/3)] - [(2*0^2) - (0^3/3)]

S = (32 - 64/3) - (0 - 0)

S = (32 - 64/3)

S = 96/3 - 64/3

S = 32/3

Таким образом, площадь области, заключенной между графиками функций y = 4x - x^2 равна 32/3 квадратных единиц.

Совет: При решении подобных задач всегда обращайте внимание на точки пересечения графиков функций и правильно задавайте пределы интегрирования.

Задача для проверки: Найдите площадь области, заключенной между графиками функций y = x^3 и y = x^2 на интервале от x = 0 до x = 1.