Какое значение получится при сложении наибольшего и наименьшего значения функции y=(x-2)^2e^-x на отрезке

Тема вопроса: Значение функции на отрезке [0; 5]

Пояснение: Для решения этой задачи нам нужно найти наибольшее и наименьшее значение функции y=(x-2)^2e^-x на отрезке [0; 5], а затем сложить их.

Шаг 1: Найдите производную функции y по переменной x. Для этого примените правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования степенной функции: y" = 2(x-2)e^(-x) - (x-2)^2e^(-x).

Шаг 2: Решите уравнение y" = 0 для нахождения критических точек функции. Подставьте y" = 0 в уравнение и решите его: 2(x-2)e^(-x) - (x-2)^2e^(-x) = 0.

Шаг 3: Найдите вторую производную функции y по переменной x. Для этого продифференцируйте y" по переменной x: y"" = -2(x-4)e^(-x).

Шаг 4: Определите, являются ли найденные критические точки на отрезке [0; 5] максимумами или минимумами функции. Для этого анализируйте знак второй производной.

Шаг 5: Найдите значения функции y в критических точках и на концах отрезка [0; 5].

Шаг 6: Сложите наибольшее и наименьшее значения функции, чтобы получить итоговый ответ.

Дополнительный материал: Для решения данной задачи проведем все необходимые шаги:

Шаг 1: Найдем производную функции y=(x-2)^2e^-x: y" = 2(x-2)e^(-x) - (x-2)^2e^(-x).

Шаг 2: Решим уравнение y" = 0: 2(x-2)e^(-x) - (x-2)^2e^(-x) = 0. Получим критическую точку x = 2.

Шаг 3: Найдем вторую производную функции y: y"" = -2(x-4)e^(-x).

Шаг 4: Анализируя знак второй производной, видим, что точка x = 2 является минимумом функции.

Шаг 5: Найдем значения функции в критической точке и на концах отрезка: y(0) ≈ 2, y(2) ≈ 0.043, y(5) ≈ 2.3.

Шаг 6: Сложим наименьшее и наибольшее значения функции: 2 + 2.3 ≈ 4.3.

Ответ: Значение функции при сложении наибольшего и наименьшего значения составляет около 4.3.

Совет: Для решения этой задачи важно знать правила дифференцирования и уметь находить критические точки функции. Также стоит уметь анализировать знак второй производной, чтобы определить, является ли точка максимумом или минимумом. Внимательно проверяйте расчеты и не пропускайте ни один из шагов.

Практика: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = x^3 - 3x^2 + 2x на отрезке [-2; 3]. Сложите найденные значения.

Суть вопроса: Вычисление значения функции на отрезке

Пояснение:
Для решения этой задачи мы должны вычислить значения функции на отрезке [0; 5] и найти наименьшее и наибольшее из них.

Начнем с вычисления значений функции на этом интервале. Для данной функции y=(x-2)^2e^-x, мы заменим x значениями от 0 до 5 и найдем соответствующие значения y.

Получим следующую таблицу значений:

x | y
--- | ---
0 | 4
1 | 0.135
2 | 0
3 | 0.018
4 | 0.039
5 | ≈ 0

Теперь мы можем найти наибольшее и наименьшее значение функции. Наименьшее значение функции соответствует точке минимума на графике, а наибольшее значение функции - точке максимума.

Минимальное значение функции равно 0 и достигается при x=2.
Максимальное значение функции достигается на границах отрезка [0;5]. Из таблицы видно, что значение функции на границах отрезка равно 4 и ≈0 соответственно.

Таким образом, сумма наибольшего и наименьшего значения функции равна 4 + 0 = 4.

Совет:
Чтобы лучше понять эту задачу, полезно изобразить график функции y=(x-2)^2e^-x на координатной плоскости. Это поможет визуализировать точки минимума и максимума, а также понять, как меняется функция на заданном отрезке.

Дополнительное задание:
Найдите значения функции y=(x-1)^2e^-x на отрезке [1; 4]? Какова будет сумма наибольшего и наименьшего значения?