Какое значение имеет первообразная функции f(x)=6 cos 3x-12 sin 6x в точке x=pi/6, если в точке x=pi/2 она равна
Какое значение имеет первообразная функции f(x)=6 cos 3x-12 sin 6x в точке x=pi/6, если в точке x=pi/2 она равна 4?
24.12.2023 11:17
Верные ответы (1):
Жужа
8
Показать ответ
Тема вопроса: Первообразная функции и её значение в заданной точке
Пояснение:
Первообразная функции f(x) - это функция, чья производная является исходной функцией f(x). Если у нас есть функция F(x), которая является первообразной для функции f(x), то F"(x) = f(x).
В данной задаче нам нужно определить значение первообразной функции f(x)=6cos(3x)-12sin(6x) в точке x=pi/6 при условии, что в точке x=pi/2 она равна 5.
Для решения данной задачи мы будем использовать свойство первообразной функции - интеграл.
Сначала найдем первообразную функции f(x). Для этого возьмем интеграл от f(x) по x:
`∫ (6cos(3x) - 12sin(6x)) dx`.
Интегрируя каждый член по очереди, получим следующую первообразную:
`F(x) = 2sin(3x) + 2cos(6x) + C`,
где C - произвольная постоянная.
Для определения конкретного значения первообразной функции f(x) в точке x=pi/6, нам нужно знать значение постоянной C. Для этого мы используем информацию о значении функции в точке x=pi/2, которая равна 5.
Подставим x=pi/2 в выражение первообразной функции:
`5 = 2sin(3(pi/2)) + 2cos(6(pi/2)) + C`.
Раскроем синус и косинус:
`5 = 2(-1) + 2(1) + C`,
`5 = -2 + 2 + C`,
`5 = 0 + C`,
`C = 5`.
Теперь, зная значение постоянной C, мы можем определить значение первообразной функции в точке x=pi/6:
`F(pi/6) = 2sin(3(pi/6)) + 2cos(6(pi/6)) + 5`.
Упростим выражение:
`F(pi/6) = 2sin(pi/2) + 2cos(pi) + 5`.
Синус и косинус данных углов равны:
`F(pi/6) = 2(1) + 2(-1) + 5`.
Решим выражение:
`F(pi/6) = 2 - 2 + 5`.
Подсчитаем:
`F(pi/6) = 5`.
Таким образом, значение первообразной функции f(x) в точке x=pi/6 равно 5.
Совет:
Чтобы лучше понять первообразную функцию и работу с ней, полезно изучить базовые правила дифференцирования и интегрирования. Регулярная практика решения различных примеров позволит улучшить навыки работы с первообразными функциями.
Проверочное упражнение:
Найдите значение первообразной функции F(x) = 4cos(2x) + 5sin(3x) в точке x = pi/4.
Все ответы даются под вымышленными псевдонимами! Здесь вы встретите мудрых наставников, скрывающихся за загадочными никами, чтобы фокус был на знаниях, а не на лицах. Давайте вместе раскроем тайны обучения и поищем ответы на ваши школьные загадки.
Пояснение:
Первообразная функции f(x) - это функция, чья производная является исходной функцией f(x). Если у нас есть функция F(x), которая является первообразной для функции f(x), то F"(x) = f(x).
В данной задаче нам нужно определить значение первообразной функции f(x)=6cos(3x)-12sin(6x) в точке x=pi/6 при условии, что в точке x=pi/2 она равна 5.
Для решения данной задачи мы будем использовать свойство первообразной функции - интеграл.
Сначала найдем первообразную функции f(x). Для этого возьмем интеграл от f(x) по x:
`∫ (6cos(3x) - 12sin(6x)) dx`.
Интегрируя каждый член по очереди, получим следующую первообразную:
`F(x) = 2sin(3x) + 2cos(6x) + C`,
где C - произвольная постоянная.
Для определения конкретного значения первообразной функции f(x) в точке x=pi/6, нам нужно знать значение постоянной C. Для этого мы используем информацию о значении функции в точке x=pi/2, которая равна 5.
Подставим x=pi/2 в выражение первообразной функции:
`5 = 2sin(3(pi/2)) + 2cos(6(pi/2)) + C`.
Раскроем синус и косинус:
`5 = 2(-1) + 2(1) + C`,
`5 = -2 + 2 + C`,
`5 = 0 + C`,
`C = 5`.
Теперь, зная значение постоянной C, мы можем определить значение первообразной функции в точке x=pi/6:
`F(pi/6) = 2sin(3(pi/6)) + 2cos(6(pi/6)) + 5`.
Упростим выражение:
`F(pi/6) = 2sin(pi/2) + 2cos(pi) + 5`.
Синус и косинус данных углов равны:
`F(pi/6) = 2(1) + 2(-1) + 5`.
Решим выражение:
`F(pi/6) = 2 - 2 + 5`.
Подсчитаем:
`F(pi/6) = 5`.
Таким образом, значение первообразной функции f(x) в точке x=pi/6 равно 5.
Совет:
Чтобы лучше понять первообразную функцию и работу с ней, полезно изучить базовые правила дифференцирования и интегрирования. Регулярная практика решения различных примеров позволит улучшить навыки работы с первообразными функциями.
Проверочное упражнение:
Найдите значение первообразной функции F(x) = 4cos(2x) + 5sin(3x) в точке x = pi/4.