Первообразная функции и её значение в заданной точке
Алгебра

Какое значение имеет первообразная функции f(x)=6 cos 3x-12 sin 6x в точке x=pi/6, если в точке x=pi/2 она равна

Какое значение имеет первообразная функции f(x)=6 cos 3x-12 sin 6x в точке x=pi/6, если в точке x=pi/2 она равна 4?
Верные ответы (1):
  • Жужа
    Жужа
    8
    Показать ответ
    Тема вопроса: Первообразная функции и её значение в заданной точке

    Пояснение:
    Первообразная функции f(x) - это функция, чья производная является исходной функцией f(x). Если у нас есть функция F(x), которая является первообразной для функции f(x), то F"(x) = f(x).

    В данной задаче нам нужно определить значение первообразной функции f(x)=6cos(3x)-12sin(6x) в точке x=pi/6 при условии, что в точке x=pi/2 она равна 5.

    Для решения данной задачи мы будем использовать свойство первообразной функции - интеграл.

    Сначала найдем первообразную функции f(x). Для этого возьмем интеграл от f(x) по x:

    `∫ (6cos(3x) - 12sin(6x)) dx`.

    Интегрируя каждый член по очереди, получим следующую первообразную:

    `F(x) = 2sin(3x) + 2cos(6x) + C`,

    где C - произвольная постоянная.

    Для определения конкретного значения первообразной функции f(x) в точке x=pi/6, нам нужно знать значение постоянной C. Для этого мы используем информацию о значении функции в точке x=pi/2, которая равна 5.

    Подставим x=pi/2 в выражение первообразной функции:

    `5 = 2sin(3(pi/2)) + 2cos(6(pi/2)) + C`.

    Раскроем синус и косинус:

    `5 = 2(-1) + 2(1) + C`,

    `5 = -2 + 2 + C`,

    `5 = 0 + C`,

    `C = 5`.

    Теперь, зная значение постоянной C, мы можем определить значение первообразной функции в точке x=pi/6:

    `F(pi/6) = 2sin(3(pi/6)) + 2cos(6(pi/6)) + 5`.

    Упростим выражение:

    `F(pi/6) = 2sin(pi/2) + 2cos(pi) + 5`.

    Синус и косинус данных углов равны:

    `F(pi/6) = 2(1) + 2(-1) + 5`.

    Решим выражение:

    `F(pi/6) = 2 - 2 + 5`.

    Подсчитаем:

    `F(pi/6) = 5`.

    Таким образом, значение первообразной функции f(x) в точке x=pi/6 равно 5.

    Совет:
    Чтобы лучше понять первообразную функцию и работу с ней, полезно изучить базовые правила дифференцирования и интегрирования. Регулярная практика решения различных примеров позволит улучшить навыки работы с первообразными функциями.

    Проверочное упражнение:
    Найдите значение первообразной функции F(x) = 4cos(2x) + 5sin(3x) в точке x = pi/4.
Написать свой ответ: