Какие значения x удовлетворяют неравенству: 1+log4 ( х−7 )≤ log 4 (20−х)?

Предмет вопроса: Решение неравенств с использованием логарифмов

Разъяснение:

Для решения данного неравенства, мы будем использовать свойства логарифмов. Для начала, учтем, что логарифмы с одинаковыми основаниями можно сократить. Перепишем неравенство в более удобной форме:

1 + log4 (x - 7) ≤ log4 (20 - x)

Перейдем к общему основанию и сократим логарифмы:

log4 (4) + log4 (x - 7) ≤ log4 (20 - x)

Затем, используем свойство суммы логарифмов:

log4 (4 * (x - 7)) ≤ log4 (20 - x)

Упростим это равенство:

log4 (4x - 28) ≤ log4 (20 - x)

Теперь, применим свойство однозначного соответствия логарифмов:

4x - 28 ≤ 20 - x

Перегруппируем именно значения x на левой стороне:

4x + x ≤ 20 + 28

5x ≤ 48

Делим обе части неравенства на коэффициент 5:

x ≤ 48/5

Решением данного неравенства является все значения x, которые меньше или равны 48/5.

Например:
Найдите все значения x, которые удовлетворяют неравенству: 1+log4 ( х−7 )≤ log 4 (20−х).

Совет: Чтобы упростить решение неравенства с логарифмами, используйте свойства логарифмов и постепенно упрощайте выражения, приводя их к одному основанию логарифма.

Дополнительное упражнение: Найдите все значения x, которые удовлетворяют неравенству: 2 + log5 (3x - 4) ≤ log5 (x + 8).