Какие значения t являются корнями уравнения arcctg(3t^2−1)=arcctg(2t^2+t+1)? Найти корни уравнения и указать правильный

Тема: Решение тригонометрических уравнений

Описание:
Чтобы решить данное тригонометрическое уравнение, нужно преобразовать его и привести к виду, в котором можно идентифицировать значения переменных.

Начнем с преобразования, используя базовые соотношения функций. Вспомним, что arcctg(x) является обратной функцией к ctg(x), и они имеют следующее соотношение: ctg(arcctg(x)) = x. Используя это соотношение, мы можем записать данное уравнение в следующем виде:

ctg(arcctg(3t^2−1)) = ctg(arcctg(2t^2+t+1))

Заметим, что функции ctg и arcctg являются взаимообратными, поэтому они уничтожают друг друга:

3t^2−1 = 2t^2+t+1

Далее приводим подобные слагаемые и решаем уравнение:

t^2 - t - 2 = 0

Это уравнение является квадратным. Мы можем решить его с помощью факторизации или используя формулу дискриминанта. Решив его, мы получаем два значения для t: t = -1 или t = 2.

Таким образом, значения t = -1 и t = 2 являются корнями данного уравнения.

Пример:
Уравнение: arcctg(3t^2−1)=arcctg(2t^2+t+1)
Решение:
ctg(arcctg(3t^2−1)) = ctg(arcctg(2t^2+t+1))
3t^2−1 = 2t^2+t+1
t^2 - t - 2 = 0
t = -1 или t = 2

Совет:
При решении тригонометрических уравнений важно использовать основные тригонометрические соотношения и знать свойства равенств функций. Разбейте уравнение на несколько шагов и постепенно преобразуйте его до тех пор, пока значения переменных не станут очевидными. В случае сложных уравнений, где части не сокращаются явно, используйте тригонометрические тождества, чтобы преобразовать уравнение в более простую форму.

Ещё задача:
Решите уравнение arcctg(4t+1) = arcctg(t) и найдите значения t, являющиеся его корнями.