Какие значения параметра определяют множество решений неравенства |x-a|(3x^2-x-4)?

Имя: Решение неравенства |x-a|(3x^2-x-4)

Описание: Для решения данного неравенства нужно рассмотреть два случая: когда выражение в модуле (|x-a|) положительно и когда оно отрицательно.

I. Когда |x-a| > 0:
Так как модуль всегда неотрицательный, неравенство |x-a| > 0 выполняется при любом значении x, отличном от a.

II. Когда |x-a| = 0:
В этом случае x равно a.

Таким образом, множество решений неравенства |x-a|(3x^2-x-4) определяется двумя значениями параметра: a и x=a.

Демонстрация:
Пусть a = 2. Тогда множество решений неравенства |x-2|(3x^2-x-4) будет состоять из всех x, кроме x=2.

Совет: Для лучшего понимания неравенств вида |x-a|, рассмотрите график функции |x-a|. Он представляет собой "горку" в точке a. График будет положительным справа и слева от точки a, а в самой точке a он будет равен 0. Также, обратите внимание на знак выражения внутри модуля, чтобы понять, как оно влияет на множество решений.

Задача на проверку: Найдите множество решений неравенства |2x-1|(x^2+x-2).

Название: Определение множества решений неравенства с параметром

Пояснение: Задача состоит в определении значений параметра, при которых неравенство |x-a|(3x^2-x-4) имеет решения. Для этого мы должны разобрать несколько случаев.

Рассмотрим, что неравенство |x-a|(3x^2-x-4) решается только в тех случаях, когда выражение внутри модуля неотрицательно.

1. Если x - a ≥ 0, то модуль из (x-a) равен (x-a).
Тогда имеем (x - a)(3x^2 - x - 4) ≥ 0.
Решив это неравенство, получим значения x, для которых данное выражение неотрицательно.

2. Если x - a < 0, то модуль из (x-a) равен -(x-a).
Тогда имеем -(x - a)(3x^2 - x - 4) ≥ 0.
Решив это неравенство, получим значения x, для которых данное выражение неотрицательно.

Например:
Пусть a = 2.
1. Для x ≥ 2 имеем (x - 2)(3x^2 - x - 4) ≥ 0.
Решаем это неравенство и находим множество решений.
2. Для x < 2 имеем -(x - 2)(3x^2 - x - 4) ≥ 0.
Также решаем это неравенство и находим множество решений.

Совет:
Чтобы более легко понять и решить данную задачу, рекомендуется использовать графический метод или диаграмму знаков. Графиком можно визуализировать значения x, при которых неравенство |x-a|(3x^2-x-4) имеет решения, а диаграмма знаков поможет определить знак выражений внутри модуля и за его пределами.

Упражнение:
Дано неравенство |x-3|(2x^2-5x-3) > 0.
Определите множество решений этого неравенства для произвольного a.