Какие целые числа m и n удовлетворяют уравнению m^2 + 7n^2 = 8mn - 56? Найдите все возможные пары чисел m

Тема вопроса: Решение уравнений с двумя неизвестными

Разъяснение: Чтобы найти все возможные пары чисел m и n, которые удовлетворяют уравнению m^2 + 7n^2 = 8mn - 56, мы можем использовать метод называемый методом подстановки или методом сложения.

1. Перенесем все члены уравнения на одну сторону:
m^2 + 7n^2 - 8mn + 56 = 0

2. Разложим левую часть уравнения на два квадрата:
(m - 4n)^2 + n^2 + 32 - 16mn = 0

3. Сгруппируем члены по степени n и m:
(m^2 - 8mn + 16n^2) + (n^2 + 32) = 0

4. Теперь мы можем заметить, что первая скобка является полным квадратом:
(m - 4n)^2 + (n^2 + 32) = 0

5. Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным, то для выполнения уравнения необходимо и достаточно, чтобы каждая скобка была равна нулю:
m - 4n = 0 --> m = 4n
n^2 + 32 = 0 --> n^2 = -32 (такое уравнение не имеет решений в действительных числах)

6. Применим найденное значение m = 4n в уравнении:
(4n)^2 + 7n^2 = 8(4n)n - 56
16n^2 + 7n^2 = 32n^2 - 56
23n^2 = 32n^2 - 56
9n^2 = 56

7. Получаем квадратное уравнение:
9n^2 - 32n^2 + 56 = 0

8. Решив квадратное уравнение, найдем значения n:
n^2 - 32n + 56 = 0

Дальнейшие вычисления намечены в следующем сообщении.

Тема занятия: Решение уравнения с помощью метода подстановки

Объяснение:

Для решения данного уравнения мы будем использовать метод подстановки. Идея состоит в том, чтобы заменить переменные m и n на другие переменные, чтобы упростить уравнение и найти значения m и n.

1. Заметим, что данное уравнение является квадратным относительно переменных m и n. Распишем его в виде полного квадратного трехчлена:

m^2 - 8mn + 7n^2 = 56

2. Теперь проведем замену переменных:

Пусть k = m - n. Тогда, заменим m в исходном уравнении на (k + n):

(k + n)^2 - 8(k + n)n + 7n^2 = 56

Раскроем скобки:

k^2 + 2kn + n^2 - 8kn - 8n^2 + 7n^2 = 56

Подпишем каждое слагаемое:

k^2 + (2 - 8k)n + (1 - 8 + 7)n^2 = 56

Теперь у нас есть уравнение относительно двух переменных k и n.

3. Выразим k через n:

Из выражения (2 - 8k)n + (1 - 8 + 7)n^2 = 56 получаем, что 2 - 8k = 0 и 1 - 8 + 7 = 0.

Решаем эти уравнения:

2 - 8k = 0 => k = 2/8 => k = 1/4

1 - 8 + 7 = 0 => 0 = 0 // это верное уравнение, поэтому оно не дает условий на k.

4. Находим значения m и n:

Изначально мы заменили m на (k + n), поэтому:

m = k + n

Заменяем k на 1/4:

m = 1/4 + n

Таким образом, все возможные пары чисел m и n, удовлетворяющие исходному уравнению, имеют вид:

m = 1/4 + n

Дополнительный материал:

Данное уравнение m^2 + 7n^2 = 8mn - 56 можно решить, заменив переменные m и n на переменные k и n. Затем мы находим, что k = 1/4 и m = 1/4 + n. Таким образом, все возможные пары чисел m и n могут быть найдены, заменяя n на любое целое число в выражении m = 1/4 + n.

Совет:

Метод подстановки - это один из способов решения уравнений. Важно заметить, что при подстановке переменных мы должны выбрать такие замены, которые помогут упростить уравнение и упростить нахождение значений переменных. Регулярная практика решения уравнений с помощью различных методов поможет вам лучше понять, как выбрать наиболее эффективный метод для конкретного уравнения.

Упражнение:

Решите уравнение 3x^2 - 8xy + 4y^2 = 0 методом подстановки, используя замену x = a + b и y = a - b. Найдите все возможные пары чисел x и y, удовлетворяющие данному уравнению.