Какая будет решение уравнения tg(п-х)cos(3п/2-2х)=sin5п/6 на интервале от -2п до -п/2?

Тема: Решение уравнений с тригонометрическими функциями

Разъяснение: Для решения данного уравнения необходимо использовать свойства и тригонометрические идентичности. Давайте пошагово разберемся, как решить это уравнение.

1. Начнем с уравнения: tg(п-х)cos(3п/2-2х)=sin5п/6.

2. Воспользуемся свойством тангенса: tg(п-х) = -tgх. Заменим tg(п-х) на -tgх и упростим уравнение:

-tgхcos(3п/2-2х)=sin5п/6.

3. Разложим косинус разности углов: cos(3п/2-2х) = cos(3п/2)cos(2х) + sin(3п/2)sin(2х).

Получаем: -tgх(cos(3п/2)cos(2х) + sin(3п/2)sin(2х)) = sin5п/6.

4. Упростим: -tgх(-sin(2х)) = sin5п/6.

Получаем: tgхsin(2х) = sin5п/6.

5. Воспользуемся формулой двойного угла для синуса: sin(2х) = 2sinхcosх.

Получаем: tgх * 2sinхcosх = sin5п/6.

6. Перепишем правую часть уравнения: sin5п/6 = 1/2.

Получаем: 2tgхsinхcosх = 1/2.

7. Воспользуемся свойством тангенса: tgх = sinх/cosх. Заменим tgх на sinх/cosх и упростим уравнение:

2(sinх/cosх)sinхcosх = 1/2.

8. Упростим уравнение: 2sin^2х = 1/2.

Получаем квадратное уравнение: 4sin^2х - 1 = 0.

9. Решим квадратное уравнение: 4sin^2х = 1.

Получаем два возможных значения: sinх = 1/2 и sinх = -1/2.

10. Находим соответствующие значения угла x, учитывая интервал от -2п до -п/2:

a) sinx = 1/2:
x = п/6 и x = 5п/6.

б) sinx = -1/2:
x = 7п/6 и x = 11п/6.

Пример использования: Найдите решение уравнения tg(п-х)cos(3п/2-2х)=sin5п/6 на интервале от -2п до -п/2.

Совет: Для успешного решения таких уравнений важно знать основные свойства и формулы тригонометрии, такие как формулы двойного угла, формулы суммы и разности углов, а также уметь приводить уравнения к более простому виду.

Упражнение: Решите уравнение cos(x - п/4) = sin(3x) на интервале от 0 до 2п.