Как найти все значения x, для которых неравенство второй степени x^2-4x-5 > 0 выполняется?

Тема: Решение квадратных неравенств

Пояснение: Для решения данного квадратного неравенства, нам необходимо найти все значения x, при которых выполняется неравенство второй степени \(x^2 - 4x - 5 > 0\).

Сначала мы должны найти корни квадратного уравнения \(x^2 - 4x - 5 = 0\). Мы можем сделать это с помощью факторизации, полного квадратного трехчлена или используя формулу дискриминанта. Для данного уравнения факторизация не дает целочисленных решений, поэтому воспользуемся формулой дискриминанта.

Дискриминант определяется как \(D = b^2 - 4ac\), где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).
В нашем случае a = 1, b = -4 и c = -5. Подставив значения в формулу, получаем \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\).

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных действительных корня.

Далее, определяем значения x, для которых \(x^2 - 4x - 5 > 0\). Для этого требуется построить таблицу знаков. Мы должны знать значения x, при которых \(x^2 - 4x - 5\) равно нулю, а также получить знаки интервалов между корнями.

Мы знаем, что корни расположены симметрично относительно вертикальной прямой x = \( -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\).

Для значений x между -бесконечностью и первым корнем, а также для значений между вторым корнем и плюс бесконечностью значение \(x^2 - 4x - 5\) будет больше нуля.

Получаем интервалы (-бесконечность, первый корень) и (второй корень, +бесконечность), что приводит к ответу:

Ответ: \(x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)\)


Совет: При решении квадратных неравенств всегда начинайте с определения корней и построения таблицы знаков. Это поможет вам понять, какие интервалы удовлетворяют неравенству.

Дополнительное упражнение: Найдите все значения x, для которых неравенство \(x^2 - 8x + 15 > 0\) выполняется.

Суть вопроса: Решение неравенств второй степени

Разъяснение: Чтобы найти все значения x, при которых данное неравенство второй степени выполнено (x^2-4x-5 > 0), мы должны найти интервалы, на которых это неравенство истинно.

Шаг 1: Факторизация квадратного выражения.
Начнем с факторизации выражения x^2-4x-5. Мы должны найти два числа a и b, такие что их сумма равна -4, а их произведение равно -5. В данном случае мы можем факторизовать его как (x-5)(x+1).

Шаг 2: Поиск точек пересечения с осью x.
Установим каждый фактор равным нулю и решим уравнения:
(x-5) = 0 : x = 5
(x+1) = 0 : x = -1

Это значит, что график пересекает ось x в точках x = 5 и x = -1.

Шаг 3: Построение числовой прямой.
На числовой прямой поместим найденные точки x = 5 и x = -1. Они делят прямую на три интервала: (-бесконечность, -1), (-1, 5) и (5, +бесконечность).

Шаг 4: Определение знаков внутри каждого интервала.
Выберем точку из каждого интервала и определим знак выражения x^2-4x-5. Например:
- Берем x = -2: (-2)^2-4(-2)-5 = 4+8-5 = 7 > 0
- Берем x = 0: 0^2-4(0)-5 = 0+0-5 = -5 < 0
- Берем x = 6: 6^2-4(6)-5 = 36-24-5 = 7 > 0

Таблица знаков будет выглядеть так:
Интервал | Знак
----------------
(-бесконечность, -1) | +
(-1, 5) | -
(5, +бесконечность) | +

Шаг 5: Определение интервалов, где неравенство выполнено.
Из таблицы знаков видно, что неравенство x^2-4x-5 > 0 выполняется в интервалах (-бесконечность, -1) и (5, +бесконечность).

Совет: Чтобы лучше понять решение неравенства второй степени, рекомендуется изучить тему факторизации квадратных выражений и построение числовой прямой.

Задание для закрепления:
Найдите все значения x, для которых неравенство x^2+3x-10 < 0 выполняется.