Докажите, что выражение (m^2/m+5-m3/m2+10m+25): (m/m+5-m^2/m^2-25)=5m-m^2/m+5 справедливо для всех значений m, где

Содержание: Доказательство алгебраических выражений

Инструкция: Для доказательства данного выражения, мы должны установить истинность равенства для всех значений m, где m не равно -5 и m не равно 1.

Начнем с левой части выражения:

(m^2 / (m + 5) - m^3 / (m^2 + 10m + 25)) / (m / (m + 5) - m^2 / (m^2 - 25))

Преобразуем каждую дробь отдельно. Начнем с первой дроби:

m^2 / (m + 5) = m^2 / (m + 5) * (m + 5) / (m + 5)

Здесь мы умножаем числитель и знаменатель на (m + 5), чтобы избавиться от дроби в знаменателе. Далее:

= m^2 * (m + 5) / (m + 5)^2

= m^2 * (m + 5) / (m + 5)(m + 5)

= m^2 / (m + 5)

Аналогично, преобразуем вторую дробь:

m^3 / (m^2 + 10m + 25) = m^3 / (m + 5)^2

Теперь перейдем к знаменателю:

m / (m + 5) = m / (m + 5) * (m - 5) / (m - 5)

= m(m - 5) / (m^2 - 25)

m^2 / (m^2 - 25) = m^2 / (m^2 - 25)

Теперь объединим все преобразования в исходном выражении:

(m^2 / (m + 5) - m^3 / (m^2 + 10m + 25)) / (m / (m + 5) - m^2 / (m^2 - 25))

= (m^2 / (m + 5)) * ((m + 5)(m^2 - 25) / (m^2 + 10m + 25)) / ((m(m - 5) / (m^2 - 25)) - m^2 / (m^2 - 25))

Обратите внимание, что (m^2 - 25) в числителе и знаменателе сокращается, а также сокращаются некоторые множители (m + 5).

После упрощения равенства мы получаем:

= (m^2)(m^2 - 25) / ((m - 5)(m^2 + 10m + 25)) * ((m^2 - 25)(m + 5) / m)

= (m^2)(m + 5) / (m - 5)

= (m^2 * m + 5m^2) / (m - 5)

= (m^3 + 5m^2) / (m - 5)

= m^2(m + 5) / (m - 5)

= 5m - m^2 / (m + 5)

Таким образом, мы доказали исходное выражение для всех значений m, где m не равно -5 и m не равно 1.

Совет: При решении подобных задач, внимательно преобразуйте кажду дробь и знак, используя свойства алгебры. Также следуйте алгебраическим правилам и не забывайте об особых случаях, таких как знаменатель, равный нулю (проверьте каждый знаменатель на возможность обнуления).

Практика: Найдите ошибку в следующем решении:
(m + 3) / (m - 2) = (m + 4) / (m - 1)
(m + 3)(m - 1) = (m - 2)(m + 4)