Докажите, что выражение 1/sin a - sin a эквивалентно cos

Содержание вопроса: Доказательство эквивалентности выражений 1/sin a - sin a и cos a

Описание: Чтобы доказать эквивалентность выражений 1/sin a - sin a и cos a, мы должны сначала упростить их и затем показать, что они равны друг другу. Для начала преобразуем выражение 1/sin a - sin a.

1/sin a - sin a = (1 - sin^2 a) / sin a
= cos^2 a / sin a

Затем упростим полученное выражение, используя формулу тангенса:

cos^2 a / sin a = (1 - sin^2 a) / sin a
= 1 / sin a - sin^2 a / sin a
= cosec a - sin a

Теперь у нас есть выражение cosec a - sin a. Чтобы показать его эквивалентность с cos a, вспомним следующие тригонометрические формулы:

cosec a = 1 / sin a
sin^2 a + cos^2 a = 1

Используя эти формулы, мы можем преобразовать выражение:

cosec a - sin a = 1 / sin a - sin a
= 1 - sin^2 a / sin a
= 1 - cos^2 a / sin a (подставляем sin^2 a + cos^2 a = 1)
= 1 - cos^2 a * csc a
= 1 - cos^2 a * (1 / sin a)
= 1 - cos^2 a / sin a
= cos^2 a / sin a
= cos a * cos a / sin a
= cos a * cot a (так как sin a / cos a = cot a)

Таким образом, мы доказали эквивалентность выражений 1/sin a - sin a и cos a путем упрощения выражения 1/sin a - sin a до cos^2 a / sin a и дальнейшего преобразования его в cos a * cot a.

Совет: Для лучшего понимания этой темы рекомендуется узнать основные тригонометрические тождества и формулы. Также полезно разобраться в свойствах функций синуса, косинуса и котангенса.

Дополнительное задание: Решите следующее уравнение для переменной x: 1/sin x - sin x = cos x.