Докажите, что если число не делится на три, то разность между квадратом этого числа и единицей делится

Название: Подтверждение того, что если число не делится на три, то разность между квадратом этого числа и единицей делится на 3

Разъяснение:

Для начала давайте рассмотрим случай, когда число делится на 3. Если число делится на 3, то оно может быть записано в виде 3k, где k - целое число. Теперь вычислим квадрат этого числа:

(3k)^2 = 9k^2.

Затем вычислим разность между квадратом этого числа и единицей:

9k^2 - 1.

Теперь рассмотрим случай, когда число не делится на 3. Если число не делится на 3, то оно может быть записано в виде 3k + 1 или 3k + 2, где k - целое число.

Если число равно 3k + 1, то его квадрат будет:

(3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1.

Разность между квадратом этого числа и единицей будет:

9k^2 + 6k + 1 - 1 = 9k^2 + 6k.

Если число равно 3k + 2, то его квадрат будет:

(3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4.

Разность между квадратом этого числа и единицей будет:

9k^2 + 12k + 4 - 1 = 9k^2 + 12k + 3.

В обоих случаях мы получаем выражения, которые можно записать в виде 3(3k^2 + 2k) и 3(3k^2 + 4k + 1) соответственно. Таким образом, мы видим, что как в случае когда число делится на 3, так и в случае когда число не делится на 3, разность между квадратом этого числа и единицей делится на 3.

Например:
Пусть число равно 7. Так как 7 не делится на 3, возьмем его квадрат и вычтем из него единицу:
7^2 - 1 = 49 - 1 = 48, что делится на 3, так как 48 = 3 * 16.
Таким образом, мы доказали, что разность между квадратом числа 7 и единицей делится на 3.

Совет:
Для лучшего понимания данной теоремы рекомендуется изучать и понимать основные свойства деления, а также изучить основы алгебры. Закрепить основные понятия можно решая практические задачи и приводя примеры с числами, которые делятся и не делятся на 3.

Проверочное упражнение:
1. Докажите, что если число не делится на 2, то разность между квадратом этого числа и единицей делится на 2.
2. Докажите, что если число делится на 5, то разность между квадратом этого числа и единицей делится на 5.