Докажите, что для любого натурального значения n значение выражения n^3-31n делится на 6. Предположим, что t

Доказательство деления на 6

Инструкция: Для доказательства того, что выражение n^3 - 31n делится на 6 для любого натурального значения n, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый шаг
Для n = 1:
1^3 - 31 * 1 = 1 - 31 = -30
-30 делится на 6 без остатка, поскольку -30 = 6 * (-5). Таким образом, базовый шаг выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции
Допустим, для некоторого k значение выражения k^3 - 31k делится на 6.

Шаг 3: Индукционный шаг
Рассмотрим значение (k+1):
(k+1)^3 - 31(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - 31k - 31

= k^3 - 31k + 3k^2 + 3k - 30

Мы уже предположили, что k^3 - 31k делится на 6. Таким образом, мы можем заменить k^3 - 31k на 6m (где m - некоторое целое число) в нашем выражении:

= 6m + 3k^2 + 3k - 30

= 3k^2 + 3k + 6m - 30

= 3(k^2 + k + 2m - 10)

Выражение k^2 + k + 2m - 10 - это целое число, поскольку k, m и 10 - целые числа. Теперь мы видим, что выражение делится на 3.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что для любого натурального значения n значение выражения n^3 - 31n делится на 6.

Например:
Пусть n = 7. Тогда:
7^3 - 31 * 7 = 343 - 217 = 126
126 делится на 6 без остатка (126 = 6 * 21).

Совет:
- При решении задачи деления на число можно использовать метод математической индукции, как мы сделали в этом примере.
- Важно проверить базовый шаг, сделать индукционное предположение и применить его на индукционном шаге.
- Постарайтесь работать с выражением и упростить его с помощью алгебры, чтобы найти закономерности.
- Вопросы типа "Если t = 1, то t^3 - 31t = ?" можно использовать для проверки данных значений и поиска закономерностей, но они не являются частью доказательства.

Задание для закрепления:
Докажите, что для любого натурального значения n значение выражения n^4 - 15n^2 делится на 30.

Тема урока: Доказательство деления выражения на 6

Объяснение: Чтобы доказать, что выражение n^3 - 31n делится на 6 для любого натурального числа n, мы используем метод математической индукции.

1. Базовый случай (n = 1): Подставим n = 1 в выражение n^3 - 31n:
1^3 - 31(1) = 1 - 31 = -30
-30 не делится на 6.

2. Предположение индукции: Предположим, что для некоторого k выражение k^3 - 31k делится на 6.

3. Шаг индукции: Докажем, что если предположение выполняется для k, то оно выполняется и для k + 1.

k^3 - 31k делится на 6 (по предположению индукции). Обозначим это выражение как M, т.е. M = k^3 - 31k.
Тогда рассмотрим выражение (k + 1)^3 - 31(k + 1):
(k + 1)^3 - 31(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - 31k - 31
= (k^3 - 31k) + 3k^2 + 3k - 31
= M + 3k^2 + 3k - 31

Мы уже знаем, что M делится на 6. Докажем, что 3k^2 + 3k - 31 также делится на 6.

Рассмотрим три случая:
- Если k кратно 2, то 3k^2 + 3k - 31 = 3k(k + 1) - 31. Оба слагаемых кратны 3, поэтому выражение делится на 6.
- Если k = 3m, где m - некоторое натуральное число, то 3k^2 + 3k - 31 = 9m^2 + 9m - 31. Выражение -22 делится на 6.
- Если k = 3m + 1, где m - некоторое натуральное число, то 3k^2 + 3k - 31 = 9m^2 + 15m + 3 - 31 = 9m^2 + 15m - 28. Выражение 9m^2 + 15m - 28 делится на 6.

Таким образом, мы доказали, что (k + 1)^3 - 31(k + 1) делится на 6 для любого k, для которого выполняется предположение индукции.

4. Так как базовый случай выполняется и шаг индукции доказан, мы можем сделать вывод, что выражение n^3 - 31n делится на 6 для любого натурального числа n.

Совет: При решении подобных задач индукцией важно правильно сформулировать предположение индукции и правильно выполнить шаг индукции, указав, что нужно доказать из предположения. Также обратите внимание на базовый случай, чтобы убедиться, что он подтверждается.

Задание для закрепления: Докажите, что выражение 4^(n+1) - 3^n делится на 7 для любого натурального числа n.