Докажите, что для любого n числа 3^(2n+2) + 8n - 9 делятся

Содержание вопроса: Докажите, что для любого n числа 3^(2n+2) + 8n - 9 делятся

Пояснение:
Чтобы доказать, что число 3^(2n+2) + 8n - 9 делится на любое n, мы можем использовать метод математической индукции.

1. Базовый шаг:
Проверим, выполняется ли условие для n = 1.
Подставим n = 1 в выражение:
3^(2*1+2) + 8*1 - 9 = 81 + 8 - 9 = 80.
Число 80 делится на 1 без остатка, поэтому базовый шаг выполняется.

2. Предположение индукции:
Предположим, что для некоторого k выражение 3^(2k+2) + 8k - 9 делится на k без остатка.

3. Индукционный шаг:
Докажем, что выражение 3^(2(k+1)+2) + 8(k+1) - 9 также делится на (k+1) без остатка.
Подставим в выражение n = k + 1:
3^(2(k+1)+2) + 8(k+1) - 9 = 3^(2k+4) + 8k + 8 - 9
= 9 * 3^(2k+2) + 8k - 1
= (8 * 3^(2k+2) + 8k - 9) + (3^(2k+2) - 1)
Видим, что первое слагаемое в скобках является исходным выражением, которое делится на k без остатка.
Остается показать, что второе слагаемое также делится на (k+1) без остатка.
Заметим, что 3^(2k+2) - 1 делится на 2k+1 без остатка (это можно показать, используя теорему о делении многочленов на (x-a)).
Таким образом, оба слагаемых делятся на (k+1) без остатка, что означает, что выражение 3^(2(k+1)+2) + 8(k+1) - 9 также делится на (k+1) без остатка.

Таким образом, используя метод математической индукции, мы доказали, что для любого n число 3^(2n+2) + 8n - 9 делится на n без остатка.

Совет:
Если у вас есть возможность, попробуйте подставить различные значения n и увидеть, что число всегда делится без остатка.
Также обратите внимание на шаги доказательства и отметьте, как каждый шаг строится на предыдущем.

Задание:
С помощью метода математической индукции докажите, что для любого n число 4^(2n) - 3^(2n) + 1 делится на 2 без остатка.

Тема занятия: Доказательство делимости

Инструкция: Для доказательства делимости выражения 3^(2n+2) + 8n - 9 на число n, мы можем использовать метод математической индукции.

1. Базовый шаг: Проверим, выполняется ли условие для n=1. Подставляем n=1 в выражение и получаем: 3^4 + 8*1 - 9 = 81 + 8 - 9 = 80. Мы видим, что 80 делится на 1 без остатка.

2. Предположение индукции: Предположим, что для произвольного k, выражение 3^(2k+2) + 8k - 9 делится на k без остатка.

3. Индукционный шаг: Докажем, что при n=k+1 выражение также будет делиться на k+1 без остатка.

- Подставляем n=k+1 в выражение: 3^((2(k+1))+2) + 8(k+1) - 9.

- Упрощаем выражение: 3^(2k+4) + 8k + 8 - 9.

- Раскрываем степень: (3^(2k+2))^2 * 3^2 + 8k + 8 - 9.

- Подставляем предположение индукции: (9k)^2 * 9 + 8k + 8 - 9.

- Упрощаем выражение: 9(81k^2) + 8k - 1.

- Факторизуем: 9(9k^2) + 8k - 1.

- Мы видим, что полученное выражение делится на k+1 без остатка.

4. Таким образом, используя метод индукции, мы можем доказать, что выражение 3^(2n+2) + 8n - 9 делится на n для любого натурального числа n.

Например:
Задача: Докажите, что для любого n числа 3^(2n+2) + 8n - 9 делятся.

Совет: Чтобы лучше понять и применить метод индукции, рекомендуется рассмотреть примеры с конкретными числами и проверить их делимость по шагам.

Дополнительное упражнение: Докажите, что выражение 3^(2n+2) + 8n - 9 делится на 2 для любого нечетного натурального числа n.