1. Перепишите выражение в форме многочлена: а) Каков многочлен, полученный при умножении (a-3b) на (a+3b)? б) Каков

Предмет вопроса: Многочлены и их операции

Инструкция:
1. а) Для умножения многочленов (a-3b) и (a+3b), мы используем метод FOIL (First, Outer, Inner, Last). Умножая первые элементы каждого многочлена, получаем a * a = a^2. Затем умножаем внешние элементы каждого многочлена, получая a * 3b = 3ab. Далее, умножаем внутренние элементы каждого многочлена, получаем -3b * a = -3ab. И наконец, умножаем последние элементы каждого многочлена, получаем -3b * 3b = -9b^2. Объединяя все эти мономы, получаем многочлен a^2 + 3ab - 3ab - 9b^2, что приводит к упрощенному виду a^2 - 9b^2.

б) Для возведения многочлена (5x+3) в квадрат, мы используем метод FOIL. Умножая первые элементы, получаем 5x * 5x = 25x^2. Затем умножаем внешние элементы, получая 5x * 3 = 15x. Умножаем внутренние элементы, получаем 3 * 5x = 15x. И наконец, умножаем последние элементы, получая 3 * 3 = 9. Объединяя все эти мономы, получаем многочлен 25x^2 + 15x + 15x + 9, что приводит к упрощенному виду 25x^2 + 30x + 9.

в) Для умножения многочленов (x+2) и (x^2-2x+4), мы используем метод FOIL. Умножая первые элементы, получаем x * x^2 = x^3. Затем умножаем внешние элементы, получая x * -2x = -2x^2. Умножаем внутренние элементы, получаем 2 * x^2 = 2x^2. И наконец, умножаем последние элементы, получаем 2 * 4 = 8. Объединяя все эти мономы, получаем многочлен x^3 - 2x^2 + 2x^2 + 8, что приводит к упрощенному виду x^3 + 8.

2. а) Для разложения многочлена c^3 - 16c на множители, мы используем разностные кубы. В данном случае, мы можем переписать c^3 - 16c в виде (c)^3 - 2^3(c), что эквивалентно формуле a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). Применяя эту формулу, мы получаем (c - 2)(c^2 + 2c + 4).

б) Для разложения многочлена 3a^2 - 6ab + 3b^2 на множители, мы можем вынести общий множитель 3 и использовать квадратный трехчлен. В данном случае, мы можем переписать 3a^2 - 6ab + 3b^2 в виде 3(a^2 - 2ab + b^2), а это эквивалентно формуле a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2. Применяя это, мы получаем 3(a - b)^2.

в) Для разложения многочлена 9m^2 - 16n^2 на множители, мы можем использовать формулу разности квадратов. В данном случае, мы можем переписать 9m^2 - 16n^2 в виде (3m)^2 - (4n)^2, что эквивалентно формуле a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). Применяя формулу, мы получаем (3m - 4n)(3m + 4n).

3. Для упрощения выражения (3a - a^2)^2 - a^2(a - 2)(2 + a) + 2a(7 + 3a^2), мы должны следовать определенной последовательности действий. Сначала, мы возводим в квадрат выражение (3a - a^2), что дает нам (3a - a^2)(3a - a^2). Затем, используем метод FOIL для умножения этих двух многочленов, получая:

(3a * 3a) - (3a * a^2) - (a^2 * 3a) + (a^2 * a^2), что упрощается до 9a^2 - 3a^3 - 3a^3 + a^4.

Затем, мы раскрываем скобки во втором слагаемом, получая -a^2(a - 2)(2 + a). После раскрытия скобок, мы получаем -a^2(2a - 4 + a - 2) = -a^2(3a - 6).

В третьем слагаемом мы раскрываем скобки, получая 2a(7 + 3a^2) = 14a + 6a^3.

Теперь, мы можем объединить все мономы и упростить выражение:

9a^2 - 3a^3 - 3a^3 + a^4 - a^2(3a - 6) + 14a + 6a^3.

После объединения и упрощения, мы получаем окончательный результат: a^4 - 4a^3 - 3a^2 + 14a.

4. Чтобы доказать, что выражение -a^2 - 4a - 9 принимает только отрицательные значения, мы можем рассмотреть несколько случаев.

- Первый случай: Если значение a положительное, то -a^2 и -4a всегда будут отрицательными, и прибавление негативного числа 9 также даст отрицательный результат. Таким образом, всё выражение будет отрицательным.

- Второй случай: Если значение a отрицательное, то возведение отрицательного числа в квадрат дает положительный результат. Затем, произведение двух отрицательных чисел -4a и -9 также дает положительный результат. Прибавление положительных чисел дает положительный результат. Всё выражение будет положительным.

Таким образом, мы видим, что выражение -a^2 - 4a - 9 принимает только отрицательные значения при положительных значениях a и положительные значения при отрицательных значениях a.