1) Когда уравнение 6x^2+12x+c=0 имеет единственный корень? 2) Какие стороны прямоугольника, если их разница составляет

Полное решение уравнения и задачи с прямоугольником:

Уравнение 6x^2+12x+c=0 имеет единственный корень, когда дискриминант равен нулю.

Чтобы найти дискриминант, воспользуемся формулой: D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения.

В данном уравнении a = 6, b = 12 и c - неизвестно. Поскольку нужно найти условие единственного корня, то D = 0.

Подставим значения в формулу: 0 = 12^2 - 4 * 6 * c.

Упростим выражение: 0 = 144 - 24c.

Полученное уравнение сводится к линейному, где переменная c находится в правой части. Решим его:

24c = 144,
c = 144/24,
c = 6.

Таким образом, уравнение 6x^2 + 12x + 6 = 0 имеет единственный корень при c = 6.

Чтобы найти стороны прямоугольника при известной разнице, используем формулы для диагонали и разности сторон.

Пусть длина прямоугольника равна a, а ширина - b. Тогда разность сторон равна a - b = 21.

По теореме Пифагора диагональ равна квадратному корню из суммы квадратов сторон.

Тогда a^2 + b^2 = диагональ^2.

Поскольку она равна диагональ, a^2 + b^2 = диагональ^2 = 21^2.

Подставим заданные значения:

(a - b)^2 + b^2 = 21^2.

(a^2 - 2ab + b^2) + b^2 = 441.

2a^2 - 2ab + 2b^2 = 441.

Упростим уравнение: a^2 - ab + b^2 = 220. (1)

Полученное уравнение (1) является квадратным трехчленом.

Теперь нам нужно найти значения a и b.

Один из способов - представить уравнение (1) в виде квадрата двучлена: ( a - b/2 )^2 + 3b^2 = 220.

Заметим, что квадрат положительного числа всегда дает положительное число.

Будем искать длину a и ширину b в виде положительных чисел.

Тогда меньшая сторона прямоугольника будет найдена, когда a - b/2 = 0.

Если пересчитать координаты центра прямоугольника, то получим, что его центр совпадает с началом отсчета.

Найдем этот центр Из уравнения вида a - b/2 = 0 получаем, что a = b/2.

Длина прямоугольника a получается равной половине ширины b.

Так что, следовательно, a = b/2.

Подставим это выражение в наше уравнение (1):

( b/2 )^2 - ( b/2 ) * b + b^2 = 220.

b^2/4 - b^2/2 + b^2 = 220.

Упростим уравнение, но здесь мы пропустим необходимые шаги и продолжим:

b^2 - 2b^2 + 4b^2 = 880.

b^2 = 880.

b = sqrt(880).

Поэтому, b = 2 * sqrt(220).

Таким образом, длина прямоугольника a = b/2 = sqrt(220).

В результате, стороны прямоугольника равны sqrt(220) и 2 * sqrt(220).